Hirdetés

2021. január 25., hétfő

Gyorskeresés

Hozzászólások

(#6051) Micsurin


Micsurin
veterán

Köszönöm! :R Kezdem érteni, már megvan a teszt de számomra még nem meggyőző pontszámmal... a 70-80% gyakorlatban általában kettesre elég. :DDD

Itt pl van 4 sorom amit tovább taglalok ergo csinálok belőle egy 4x2-es táblázatot ahol számít a sorok és oszlopon sorrendje ha újra párosítom őket. Mit nem vettem figyelembe ennek 8!-nak kellett volna lennie nem? Mivel minden sor 4+3 szótagra bontható. :F

Egy van még amit nagyon nem tudok hova tenni, ha lebontom a feladatról a rizsát:

6 lovag, összesen 17-szer próbálja meg kihúzni a kardot. Mivel többször is próbálkozhatott egy egy lovag és a sorrend is számít mert minden sorrend egy külön lehetséges próbálkozást ír le, így nem 6^17 és ismétléses variációnak kéne lennie? :F

A kombináció - permutációt fogom szerintem keverni.

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6052) kovisoft válasza Micsurin (#6051) üzenetére


kovisoft
őstag

Vers: 8! akkor lenne, ha bármelyik félsor bárhol előfordulhatna (kvázi mintha egy 8 soros versről lenne szó). De ekkor keletkeznének 4+4, 3+3, 3+4 szótagos sorok is. Itt viszont van egy olyan megkötés, hogy egy sor mindig 4+3 szótagos, ami azt jelenti, hogy a bal félsorok mindig a bal, a jobb félsorok mindig a jobb oldalon maradnak. Tehát a 4 baloldali félsor tetszőleges permutációjához rendelhetjük a 4 jobboldali félsor tetszőleges permutációját. Legalábbis szerintem. :)

(#6053) axioma válasza Micsurin (#6051) üzenetére


axioma
Topikgazda

A lovagnal azt _sejtem_ (pontos szoveg ismerete nelkul), hogy van 6 lovag, tehat nem lehet hogy mind a 17 probalkozast az elso csinalja.
Nincs olyan megkotes, hogy mindenki 1x lep oda es probalja valahanyszor?
Mert akkor ez a torpokbol levesfozes esete, felteve hogy a lovagok nem kulonboznek, csak arra kivancsi hoyg milyen eloszlasban lehetnek a probalkozasok.
De ha van pontos szoveg akkor meg tudjuk mondani, ez csak egy tipp az eddigi feladatsorok jellegebol sejtve (de nem vagyok pedagogus... szoval lehet hogy pont nem).

(#6054) Micsurin válasza kovisoft (#6052) üzenetére


Micsurin
veterán

4! * 4! akkor nem? Mert bármelyik bal sorhoz rendelhetem bármelyik jobbost és mivel csökkennek a szabad sorok szépen felírnám páronként a 4!*4! szorzatait.

Jogos erre nem figyeltem. :B

axioma

Ez az egész csak próbáltam rövidebben leírni, nem lett kimondva megkötésként, hogy mindenki próbálkozott nekem úgy jönne le ha mind a 17x próbálja meg egyikőjük akkor értelemszerűen a többiek 0x/fő és ez is egy lehetséges opció volt. :F

Különbözőek, nem a törpök esete.

[ Szerkesztve ]

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6055) kovisoft válasza axioma (#6053) üzenetére


kovisoft
őstag

Lovagosnál én is erre tippelek, hogy nem lehet az, hogy egy lovag probálkozik egyet, átadja egy másiknak a helyet, aztán később megint visszamegy próbálkozni. Hanem egyben le kell tudnia a saját próbálkozásait. De ehhez kellene a "rizsa", hogy eldönthessük. :)

Szerk: közben meglett a "rizsa", és ebben az van, hogy "csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy ki hányszor próbálkozott".

[ Szerkesztve ]

(#6056) Micsurin válasza kovisoft (#6055) üzenetére


Micsurin
veterán

Ebből annyi derül ki, hogy nem számít a sorrend semmi több.

Ismétléses kombináció lenne? :F

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6057) kovisoft válasza Micsurin (#6056) üzenetére


kovisoft
őstag

Így van, a sorrend nem számít, tehát nem permutáció vagy variáció (amikben variáljuk a sorrendet), hanem kombináció. És mivel egy személy többször is próbálkozhat, ezért ismétléses.

(#6058) mrhitoshi válasza janos666 (#6040) üzenetére


mrhitoshi
veterán

Fura. Én/mi sose ezeket a jelöléseket használtam/tuk, de érthető mit vezetsz végig. :D

PS4

(#6059) Rick3D


Rick3D
senior tag

Sziasztok,
Egy kis segítséget szeretnék kérni. Pofon egyszerű lesz.

Béla elhelyez a bankban 300 000 Ft-ot, negyedéves lekötésre, 8%-os kamatlábra (éves
szinten). Mennyi pénze lesz 7 év múlva? Hány év múlva duplázódik meg a pénze?

Kérdésem a következő : Ezt azt jelenti , hogy negyedévente kamatozik 8%-ot ? vagy évente ?

Mert ha negyedévente kamatozik 8%-ot akkor az n=4x8=28 ?
Viszont ha évente 8% akkor n=7.

A duplázódásra pedig a Tn= To*2 kell behelyettesíteni ugye ?

(#6060) axioma válasza Rick3D (#6059) üzenetére


axioma
Topikgazda

Negyedevente a negyed evre ervenyes kamatot kapja, azaz 2%-ot, es az tokesedik.
Tehat log1.02(2) darab negyedev mulva duplazodik, ami 35 felett van kicsivel, tehat 36. honapban, a 9. ev vegen lesz eloszor tobb, mint 2x-es penz (de ha kerekitve eleg akkor 35. negyedevben, valojaban matematikailag akkor 1.999889-szeres, 599966 Ft lenne, de ugye kevesebb es tobb is lehet, mert kozben forintban keves tizedesjegyre kerekitenek - bar lehet hogy kamatnal (user kovetel) mindig lefele...)

[ Szerkesztve ]

(#6061) Jorus


Jorus
nagyúr

Nem teljesen matek, de hátha vkinek beugrik statból vagy kvantiból, köszi szépen :)

Vagyis a mintaátlagok szórása megegyezik a sokaság szórásának és a mintaszám négyzetgyökének hányadosával.

[ Szerkesztve ]

''És nagy kópék vagyunk. Igyunk barátaim, yo-hoo!'' - Jack Sparrow

(#6062) Jorus válasza Jorus (#6061) üzenetére


Jorus
nagyúr

Megoldódott, standard hiba bizonyítását kellett felhasználni. :)

''És nagy kópék vagyunk. Igyunk barátaim, yo-hoo!'' - Jack Sparrow

(#6063) dmspore


dmspore
csendes tag

Sziasztok,
tudnátok segíteni ebben a feladatban? Markov-láncok:

Egy felmérés során a társadalmi mobilitást vizsgálták a generációk között.
E szerint a felső osztálybeliek gyerekeinek 65 %-a lesz felső osztálybeli, 28 %-a közép, 7 %-a alsó osztálybeli
lesz.
A középosztálybeliek 15 %-a kapaszkodik fel a felső osztályba, 67 % középosztálybeli
marad, 18 % alsó osztályba csúszik.
Az alsó osztálybeliek 12 %-a felső osztályba kerül, 36 %-a
középosztálybeli, 52 %-a alsó osztálybeli lesz.

(a) Rajzold fel az állapotok közötti átmenetek diagramját! Írd fel az átmenetmátrixot!

(b) A felső osztálybeliek unokáinak hány százaléka lesz alsó osztálybeli?

(c) A jelenlegi generáció 15 %-a felső osztálybeli, 55 %-a középosztálybeli, 30 % alsó osztálybeli.
Mi lesz az osztályok eloszlása a következő generációban (azaz a mostani generáció gyerekei
között)? A jelenlegi generáció unokáinak hány százaléka lesz középosztálybeli?

(d) Keresd meg az egyensúlyi eloszlást! Azaz a jelenlegi generációnak hogyan kellene megoszlania osztályok szerint ahhoz, hogy ez az eloszlás a következő generációk során ne változzon?

Előre is köszönöm!

DMSPORE

(#6064) axioma válasza dmspore (#6063) üzenetére


axioma
Topikgazda

Ezek a mit hogyan irjunk le reszek azert nem annyira kanonizaltak, de azert megprobalkozok.
a. matrix: a szazalekos szamokat igy ahogy vannak leirod 3x3 matrixba
b. ez egyszeru, mivel csak ket lefele valtason at lehet, tehat (bar ugye nem kene fgtl legyen ez a domain szerint, de itt most gondolom azzal kene szamolni): 28%-nak a 18%-a, azaz 5.04% Bocs, hulyeseg, van ket szint ugras is, pill javitom
Tehat 1. kor utan 65-28-7, masodik kor utan az also kategoriaba 65%*7%+28%*18%+7%*52%=13.23%
c. ugyanigy szorzas, x%-nak y%-a lesz z tulajdonsagu akkor az egesznek x%*y%-a
d. az a.-ban levo matrix fixpontjat keressuk: olyan (a,b,c) vektort amit szorozva a matrixszal (a,b,c)-t kapsz (bal oldalon van a vektor es sorvektor; ha a matrixot forditva definialtatok - ertsd: transzponalt -, akkor meg utoszorzol fuggoleges vektorral). Ez harom linearis egyenlet, felirod, megoldod mint egyenletrendszert.

[ Szerkesztve ]

(#6065) Rick3D


Rick3D
senior tag

Sziasztok,
Szerintetek jól számoltam ?
Feladat : Egy szabályos nyolcszög alapú egyenes hasáb térfogata 7,3dm3 , magassága 15 cm. Mekkora a felszíne ?
Első körben felírtam V=Ta*M amiből megkaptam Ta=486,66cm2 (7,3dm=7300cm3)
Aztán a palást , P=Ka*M és Ka=n*a és a=18,55cm
Ka=8*18,55=148,4cm
P= 148,4 * 15 = 2226 cm2
A=2x486,66+2226
Nekem A=3199,32cm2 jött ki.

(#6066) kovisoft válasza Rick3D (#6065) üzenetére


kovisoft
őstag

Hogy jött ki 18,55 a nyolcszög oldalhosszára?

(#6067) Rick3D válasza kovisoft (#6066) üzenetére


Rick3D
senior tag

Közben rájöttem , hogy r nem egyenlő a :D Javítottam a hülyeségemet.
Kérdésedre válaszolva. Így.

(#6068) kovisoft válasza Rick3D (#6067) üzenetére


kovisoft
őstag

Valamit elszámoltál, az r^2 nem 344,11, hanem ennek a fele.

(#6069) Rick3D válasza kovisoft (#6068) üzenetére


Rick3D
senior tag

akkor 172,05 lesz az r^2 ?

(#6070) kovisoft válasza Rick3D (#6069) üzenetére


kovisoft
őstag

Igen, nem jól osztottál 4*gyökkettővel.

(#6071) Rick3D válasza kovisoft (#6070) üzenetére


Rick3D
senior tag

Köszi, a segítségeddel megoldódott a rejtély :) :R

(#6072) Micsurin


Micsurin
veterán

Itt mi lett volna a költő gondolat menete? Mert nekem egy lépés mintha hiányozna és nem jövök rá mi, én magamtól teljesen máshogy rendeztem de mint kiderült a teljes indukció miatt más formára rendezve nem elfogadható... :(((

Köszi előre is! :R

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6073) kovisoft válasza Micsurin (#6072) üzenetére


kovisoft
őstag

Hol érzed, hogy hiányzik egy lépés? Az indukciós lépésnek az a lényege, hogy feltesszük, hogy egy adott k-ra igaz az állítás, majd ebből levezetjük, hogy akkor k+1-re is igaz. Ehhez a k+1-es összeget fel kell bontanunk két részre: a k-s összegre plusz a k+1-edik kitevőjű tagra (6^(k+1)). A k-s összeg helyére beírjuk az indukciós feltétel alapján az összegképletet (feltettük, hogy k-ra igaz a képlet), ehhez adjuk hozzá a k+1-edik tagot, majd ezt kell úgy átalakítanunk, hogy kijöjjön belőle a k+1-es összegképlet.

(#6074) Micsurin válasza kovisoft (#6073) üzenetére


Micsurin
veterán

Azt értem, hogy kellene felépülnie itt azt nem látom az a 6/5-ös szorzó miből lett kiemelve. :B Mert ha a 6^k+1-et felbontaná akkor logikusan onnan jönne ki a +1-ből a 6 de maradt a kitevő a szorzó után és előkerült egy -1/5-öd.

Tehát a felírást értem én is így írtam fel nem erről van szó hanem a levezetésről. Nekem full más forma jött ki ergo rossz (felvittem a k tagot nevezőbe és így mentem tovább), neki meg lövésem sincs mi volt a levezetés alapja.

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6075) kovisoft válasza Micsurin (#6074) üzenetére


kovisoft
őstag

Csak annyit csinált, hogy felbontotta a zárójelet, és a végére vitte a -1/5-öt.
A 6/5 pedig így jön ki:
(1/5)*6^(k+1) + 6^(k+1) = (1/5)*6^(k+1) + (5/5)*6^(k+1) = (6/5)*6^(k+1)

(#6076) Micsurin válasza kovisoft (#6075) üzenetére


Micsurin
veterán

Köszönöm, ennyire nem lehetek sügér. :D :R

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6077) Micsurin


Micsurin
veterán

Megint kérdeznék és sanszos, hogy vagy megint figyelmetlen vagyok de így ~8 óra után már semmi nem tűnik fel lassan! :R :(

Teljesen tiszta a k+1-re való felírása viszont nem egészen értem mi ez a folytatólagos relációs jel és, hol hagyott el egy tagot a tanár.

Ezt, hogy adta ki a tanárnak? Az korrekt, hogy a 3-ból lesz a +1 de hová tűnt egy k-s szorzó?

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6078) lev258 válasza Micsurin (#6077) üzenetére


lev258
veterán

Annyira nem vészes.
(i)-ben belátja, hogy igaz k=7 esetén
(ii)-ben belátja, hogy k+1-re igaz; a lényeg csak annyi, hogy mindig valami kisebbet ír fel, mint a kifejezés (nem vele egyenlőt) és végül eljut oda, ahova akart (k+1 mindig nagyobb lesz, mint 3, így 3-at írva a kifejezés biztosan kisebb)
(iii)-ben csupán egyesíti a két állítást: igaz k-ra és k+1-re (ebben az indukcióban a k-ra teljesülést is igazolnunk kellett)

[ Szerkesztve ]

Ubuntu MATE 18.04, hobbi cayenne termesztő

(#6079) Micsurin válasza lev258 (#6078) üzenetére


Micsurin
veterán

Hármat írva... oké de, honnan és mit vett? Az a szorzat felbontva nem ez kellene, hogy legyen. :F

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6080) lev258 válasza Micsurin (#6079) üzenetére


lev258
veterán

Nem bontotta fel. Lecserélte a k+1-et 3-ra, mert miért ne (lehetne más is). A lényeg, hogy az új kifejezés kisebb legyen, mint a k+1-es.

Ubuntu MATE 18.04, hobbi cayenne termesztő

(#6081) Micsurin válasza lev258 (#6080) üzenetére


Micsurin
veterán

Köszönöm!
... :U

Imádom ezt a nőt 2 oldalon keresztül mindent végig vezet majd what ever másképp kezd el megoldani dolgokat, kikötés: n => 7 de k+1 --> 3.... :W

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6082) lev258 válasza Micsurin (#6081) üzenetére


lev258
veterán

Egyenlőtlenség a cél. Semmi hibát nem vétett és nem ment szembe a kiinduló állítással. k+1> 3 minden k>=7 esetén.

Ubuntu MATE 18.04, hobbi cayenne termesztő

(#6083) Micsurin válasza lev258 (#6082) üzenetére


Micsurin
veterán

De bakker akkor az elvet nem értem mert a feltevés belátható volt már a megelőző lépésben mivel a szorzatok egyik tagja azonos, a másik két tagra meg már beláttuk, hogy n => 7 esetén teljesül rájuk ez a reláció.

Most én keresem a további 1 lépést ami nincs ott vagy mi? :F :DDD

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6084) lev258 válasza Micsurin (#6083) üzenetére


lev258
veterán

Akkor kissé eltévedtél. Azt akarod belátni indukcióval, hogy k!>3^k, vagyis (ii)-ben azt akarod belátni, hogy (k+1)!>3^(k+1). Ez a cél, ide kell eljutni valahogy. Az egész felbontás, vagy a tagok kisebbre cserélése ezért történik.

[ Szerkesztve ]

Ubuntu MATE 18.04, hobbi cayenne termesztő

(#6085) Micsurin válasza lev258 (#6084) üzenetére


Micsurin
veterán

De wtf...
(k+1)!>3^(k+1) igen ebből lesz k!*(k+1) eddig jó de a k+1 hatványt honnan kényszerítem ki a másik oldalon? Mert a 3^k*(k+1)-ből ez nem fog kijönni sehogy. :F

Ezért nem értem honnan és miért jött neki ez az odacsapott "ettől biztosan kisebb kell legyen" érték mert eddig ilyent sehol nem csinált, végig lehetett vezetni a feladatot rendesen. :F

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6086) lev258 válasza Micsurin (#6085) üzenetére


lev258
veterán

Előzőleg, (i)-ben belátta, hogy k!>3^k. Vagyis k!*(k+1)-ben k! kicserélhető erre, így egy kisebb összefüggést kapunk. A (k+1) pedig lecserélhető 3-ra, újabb, még kisebb összefüggést adva. Mintha a lépések mögötti logika nem lenne tiszta neked. Mint írtam, az egésznek a célja, hogy (ii) bal oldalától eljussunk valahogy a jobb oldalig, mert ezt akarjuk megmutatni, bizonyítani.

[ Szerkesztve ]

Ubuntu MATE 18.04, hobbi cayenne termesztő

(#6087) kovisoft válasza Micsurin (#6085) üzenetére


kovisoft
őstag

Úgy jön ki a k+1 hatvány, hogy 3*3^k = 3^(k+1). Ezért keresett egy tényezőt, amit lecserélhet 3-ra, hogy behozzon egy +1-es kitevőt a 3^k-hoz. Ez a tényező lett a k+1, így ha (k+1)*3^k helyett egy ennél kisebb 3*3^k-t ír, akkor az már átalakítható 3^(k+1)-re.

[ Szerkesztve ]

(#6088) Micsurin válasza lev258 (#6086) üzenetére


Micsurin
veterán

Miért mit kéne mögé lássak?

Bizonyítjuk egy adott értékre ha arra teljesül akkor megvan az alapunk mivel k adott számra teljesül ekkor domino elv alapján próbáljuk bizonyítani, hogy bármely term. számra igaz lenne az egyenlőtlenség adott esetben pl 7 vagy felette.

Konkrétan ennyi elméletet kaptunk kb plusz hozzá az alap feltételt, hogy megszámolhatóan végtelen esetben használható elv. :F

Feladatokban meg visszatérően az első (i)-ben felírt formára kell visszakényszeríteni az egyenletet vagy egyenlőtlenséget, hogy megjelenjen a k+1, innentől kezdve meg egyenlet rendezés.

kovisoft Így tiszta köszönöm akkor csak azt silabizálom még mindig, hogy k+1 miért cserélhető le k-ra mikor n=7-re volt csak bizonyítva az egyenlőtlenség. :F

Szerintem elengedem a témakört... inkább nekiülök a lineáris algebra témaköröknek 13 tételből ha egy nem megy minimális az esély rá...

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6089) axioma válasza Micsurin (#6088) üzenetére


axioma
Topikgazda

"Így tiszta köszönöm akkor csak azt silabizálom még mindig, hogy k+1 miért cserélhető le k-ra mikor n=7-re volt csak bizonyítva az egyenlőtlenség. "
Szerintem te nem erted a teljes indukcio mukodeset. A lenyeg az, hogy ha van egy fix pontod, meg egy onnan vezeto utad amin tudod, hogy egyet tudsz elore haladni, akkor a fix pont utani minden lepespontra el fogsz jutni.
Amikor n=7-re bizonyitottad, akkor megvan a fix pont.
Amikor belatod, hogy k>3 eseten mar igaz, hogy barmely k-rol lephetsz k+1-re, akkor biztositod magadnak a lepes lehetoseget.
Ez a ketto egyutt mar ugy mukodik mint egy program. Mondjuk azt hogy minden i-re az allitasrol nem tudjuk hogy igaz-e. Aztan az n=7 kulon belatasa miatt tudjuk, hogy 7-re igaz. Epits gepet, ami ha lat egy k-ra igazat, aminel mukodik a lepcso (k>3), akkor k+1-re is rapecseteli hogy igaz. Ez a gep ha meglatja a 7-et, ra tudja pecsetelni a 8-ra hogy igaz. Most mar latja a 7,8-at, az elsovel nem megy semmire, a 8 miatt (mivel k=8>3) tudja a lepest is, tehat 9-re is igaz. Es igy tovabb, minden egesz szam 7 felett egyszer csak kap a _lepes_ miatt pecsetet.
A 7 alattiak nem, hiszen csak annyit tudunk, hogy k>3 ES k-ra igaz eseten igaz lesz k+1-re is. (Amugy ugy jobban megertetted volna, ha azt irja hogy (k+1)*3^k>=(n+1)*3^k=8*3^k>3*3^k=3^(k+1)? Ez is helyes, talan kicsit jobban latszik az elv (csak az n-et elero esetben alkalmazzuk a k-t).
Ha az indukcios lepes csak mondjuk k>10 eseten lenne igaz, akkor az egesz nem indul el. Latja a gepezet a 7-et, de ott nem tud lepcsot inditani. Ha kezzel bebizonyitod, hogy 7,8,9,10-re is igaz, akkor mar fog tudni felfele lepni (es minden >=7-re igy is be lehet latni).
Remelem segitett kicsit, mert ha "zsigerbol" erzed hogy mit jelent ez, nem a szamoknal ragadsz le es nem valtozokban keresed a mintat, valoszinuleg sokat segit a megoldasmenetek megerteseben majd kitalalasaban is.

[ Szerkesztve ]

(#6090) Micsurin válasza axioma (#6089) üzenetére


Micsurin
veterán

Köszönöm! :R

Így érthető volt, plusz hozzánéztem a tavaszi előadást amit sikerült megszerezzek szerencsére volt aki lementette! :R Köszönöm még egyszer mindenkinek!:)

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6091) Micsurin


Micsurin
veterán

Kéne egy kis segítség mert megint elkeveredtem. :D

Hogy lehet az alábbi egyenletrendszert dekódolni a gauss végeredménye alapján? :B
Értem a levezetést és addig, hogy a z szabad paraméter mert kiesik a 3. sorom.
De onnan, hogy jött az y és az x felírása?

Az eredeti feladat meg az volt, hogy fel kellett írni az Ax = v3 egyenletet, és erre jött ez az z, x, y egyenlet rendszer.
Maga a mátrix:
A=
(3,2,1)
(-2,1,4)
(2,1,0)
v1=(1,0,-2), v2=(1,1,1), v3=(2,1,1)

Nem szeretem a Gausst... a bázisvektor cserés levezetések sokkal átláthatóbbak. :(((

edit.: ettől nem tudok átláthatóbb levezetést adni, ez is a tanár videójából lett kivágva! :R

[ Szerkesztve ]

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6092) kovisoft válasza Micsurin (#6091) üzenetére


kovisoft
őstag

Ha a z bármi lehet, akkor azt mondta, hogy legyen ez egy tetszőleges t szám.

A második sorban a (0,1,2|1) azt jelenti, hogy 0*x+1*y+2*z=1. Mivel z=t, ezt behelyettesítve y+2t=1, azaz y=1-2t.

Az első sorban az (1,0,-1|0) azt jelenti, hogy 1*x+0*y-1*z=0. Ebbe behelyettesítve a már megkapott z és y értékeket: x-z=0, azaz x-t=0, azaz x=t.

Az a lényeg, hogy miután megcsináltad a Gauss elimináció első fázisát, és egy felső háromszög mátrixot kaptál, utána alulról felfelé vissza tudod helyettesíteni az ismeretleneket, minden sorban egy újabb ismeretlen értékét tudod kiszámolni, azt (a többi korábban kiszámolttal együtt) megint behelyettesíteni a még eggyel feljebb lévő sorba, stb. Így megkapod az összes változó értékét. Az ilyen speciális esetekben, amikor mondjuk az utolsó sorban 0=0 jellegű azonosság jön ki, akkor az utolsó ismeretlennek tetszés szerinti értéket adhatsz, és ilyenkor nem egy konkrét számmal, hanem az ezzel a változóval kell tovább számolni, és ebből kell kifejezni a többi ismeretlen értékét.

(#6093) Micsurin válasza kovisoft (#6092) üzenetére


Micsurin
veterán

:R

Köszönöm! Csak nem találtam már hova akart visszautalni az egyenlet rendszerrel. :B
Annyira szeret az alanyunk ikszelgetni satírozni, hogy elvesztem néha a fonalat mit mikor és hova gondol. A bázisvektoros megoldást is 20 percig magyarázta azt se tudtam már mit akar Horváth Dániel videó meg ~5 perc alatt elmagyarázta.:DDD

Sokkal emberibb témakör mint a kombinatorika. :))

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6094) Reno7


Reno7
senior tag

Ennél a feladatnál miért 5/6-od lesz a végeredmény?
Cosα= (4+3)/(4+3-√11) adná magát, de ez 1,9 lenne, nem tudom hogy miért nem működik.

My SHAMAN is so overpowerd, I once cast a frostshock in Summerspring, now its called Winterspring.

(#6095) Apollo17hu válasza Reno7 (#6094) üzenetére


Apollo17hu
senior tag

EH-t [= sqrt(3^2+4^2) = 5] es EC-t {= sqrt[5^2+sqrt(11)^2] = 6} is Pitagorasz-tetellel kapod meg. A ketto hanyadosa (5/6) a keresett szog koszinusza.

(#6096) Micsurin


Micsurin
veterán

Lineáris leképezések, megtudná nekem valaki nagyon egyszerűen fogalmazni a Magtér és a Képtér tartalmát? A képletes leírást amit kaptunk érteni értem csak nehezen tudom elképzelni.

Adott az alfa lineáris leképezés V --> U
Ker(A) = { x (eleme) u | alfa(x) = 0*}
*ez meg eleme az U-nak.

Tehát a képtér az az a részhalmaz ami azokat az elemeket tartalmazza a kiindulási vektortérből amikre a leképezés nullát adna a cél / másik vektortérben?

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6097) kovisoft válasza Micsurin (#6096) üzenetére


kovisoft
őstag

Majdnem úgy van, ahogy írtad, csak az nem a képtér, hanem a magtér.

A magtér (kernel) a kiindulási vektortérnek az a részhalmaza, amelynek elemeit az adott transzformáció a cél vektortér 0 elemébe képezi le.

A képtér (image) az cél vektortérnek az a részhalmaza, amely úgy áll elő, hogy a kiindulási vektortér összes elemére alkalmazod az adott lineáris leképezést, és megnézed, hogy ezeknek mik a leképezései a cél vektortérben.

Vegyünk egy példát: legyen a kiindulási és cél vektortér is egyaránt a mi 3 dimenziós terünk, a leképezés pedig vetítse az összes vektort az x-z síkra (azaz nullázza ki az y koordinátát). Ennek a leképezésnek a magtere az y tengely, hiszen annak minden eleme a 0-ra vetítődik. A leképezés képtere pedig az x-z sík lesz, hiszen a kiindulási terünk minden elemét az x-z síkra vetítettük le.

A magtér altere a kiindulási vektortérnek, a képtér altere a cél vektortérnek, és a kettő dimenziójának az összege megegyezik a kiindulási vektortér dimenziójával. A fenti példában a magtér 1 dimenziós (y tengely), a képtér 2 dimenziós (x-z sík), a kiindulási vektortér pedig 3 dimenziós (x-y-z).

Ahhoz, hogy a lineáris transzformáció invertálható legyen az kell, hogy különböző elemeket különböző elemekre képezzen le. Tehát 0-ra is csak a 0-t képezheti le, azaz a magtere is csak a 0-ból állhat, azaz a magterének a dimenziója 0 kell legyen. Tehát a képtér dimenziója meg kell egyezzen a kiindulási vektortér dimenziójával.

(#6098) Micsurin válasza kovisoft (#6097) üzenetére


Micsurin
veterán

Köszi! :R

Ezt így ahogy van ki is jegyzeteltem a tételbe. :B

Magtérre gondoltam csak elírtam de akkor jó volt az elképelésem alapja, így viszont tényleg érthető köszönöm!

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6099) kovisoft válasza Micsurin (#6098) üzenetére


kovisoft
őstag

Úgy lehet még talán elképzelni az egészet, hogy a magtér és a képtér arról ad információt, hogy az adott transzformáció mennyire "szűkíti le" a kiindulási vektorteret, mennyi dimenziót nulláz ki (ez a magtér dimenziója), és mennyi dimenziót hagy meg (ez a képtér dimenziója).

Visszautalva az x-z síkra vetítős példára, ez a transzformáció a kiindulási 3 dimenziós térből 1 dimenziót kinulláz (az y tengelyt), megmarad tehát 2 dimenzió a képtérnek (x-z sík).

(#6100) Micsurin


Micsurin
veterán

Megint egy hülye kérdés de nincs egyértelmű leírás a jegyzetünkben a wiki meg kicsit katyvasz.

Ekvivalencia relációk esetén, hogy lehet egyszerűen megfogalmazni a:
-faktor halmazt?
-partíciót?

Nem a pontos definíció kéne hanem valamit ami könnyen megérthető, hogy szóbelin ha feljön mint téma érthetően tudjam kifejteni. Köszönöm előre is! :B :R

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6101) axioma válasza Micsurin (#6100) üzenetére


axioma
Topikgazda

A faktorhalmaz egyszeru: a teljes halmazt, ami felett az ekvivalenciat definialtad, azt az alapjan, hogy kik tartoznak ossze (vannak relacioban, de mivel reflexiv es tranzitiv igy csoportokat kepez), fel tudod osztani kisebb halmazokra, amik unioja kiadja az eredeti halmazt.
Peldaul a mod 2 ekvivalencia az egesz szamok felett eseten a faktorhalmaz ket halmazt tartalmaz: a paros szamok halmazat es a paratlan szamok halmazat. Tehat a faktorhalmaz itt egy ketelemu halmaz. Ha a [0..20] halmaz (21 db egesz) felett a mod 5 relaciot veszed, akkor a faktorhalmaz {{0,5,10,15,20},{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19}} otelemu.
A particio jo kerdes, mert a fenti felosztast lehet az alaphalmaz egy _particionalasanak_ nevezni, de hogy ebbol mi akar a particio lenni azt jobban meg tudnam mondani, ha a sajat szovegkornyezetebol bemasolnal rola egy mondatot.

[ Szerkesztve ]

(#6102) Micsurin válasza axioma (#6101) üzenetére


Micsurin
veterán

Köszönöm akkor az első így érthető! :R Ez konkrétan ábrával volt szemléltetve, hogy egy egy osztály zárt és az osztályok unója adja meg az eredeti halmazt.

Nem tudom honnan kimásolni. :( Végig néztem a témához azt a 7-9 óra videót újra amit kaptunk de még csak el sem hangzik így mint fogalom. Ellenben a vizsgatematikában megjelent:

6. Ekvivalencia reláció(Fogalma, Ekvivalencia osztály, Faktor halmaz, Partíció)
Az osztályra gondolna csak az ábrás jelölésre? (Feldarabolt halmaz ábra.)

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6103) axioma válasza Micsurin (#6102) üzenetére


axioma
Topikgazda

Hat, ha tippelnem kene, akkor az egyes elemei a faktorhalmaznak lehetnek a particiok. De ez csak tipp, a nevezektan nagyon eltero lehet sajnos (plane magyarul, de most az angol wikipedian is megneztem de ott se lattam jonak tuno megoldast). Jottek hozzam fizikusok olyan linearis algebra+absztrakt algebra tananyagokkal me'g anno koleszban, amit a diff.egyenletek tanarom tartott nekik, amit szabalyosan kodfejteni kellett, annyira mashogy hivta'k a dolgokat mint a mi sajat algebra oktatasunkon (amugy onmagaban logikus volt, sot a fogalmak szama kevesebb volt - de ettol nehezebb volt egy tetelt sok tulajdonsag kikotesevel megfogalmazni).

(#6104) Micsurin válasza axioma (#6103) üzenetére


Micsurin
veterán

Köszönöm! :R Akkor még túrok valamit rá de igazából nem ezen fog múlni.
Igen észrevettem az eltérést, volt osztálytársam BME VIK-est. Elméletileg sok azonos dolgot tanulunk aztán megnézzük egymás jegyzeteit és hasonló az arckifejezésünk. :D

...azt szeretem a matekban, hogy képes vagyok rommá tanulás után is nulla önbizalommal elmenni vizsgára. Míg egy IT tárgyon 2 nap tanulás után is úgy vagyok vele, hogy más nem egy kettest egészen biztos "össze hazudok" aztán lesz min 3-as. Ellenben mateknál úristen még ezeket a fogalmakat és bizonyításokat is tudni kéne tuti nem fog görbülni ezek nélkül.:DDD

Diff.egyenlet hmm kérem vissza az analízist. Jobb volt mint ez a lineáris algebra, sokkal egységesebb volt karon belül is a tanárok módszere.

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6105) axioma válasza Micsurin (#6104) üzenetére


axioma
Topikgazda

Izlesek es pofonok, en pont a diszkret matekot szeretem... amugy ki lehet bogozni, volt egy fakultativ tantargyam ahol matek szakszovegirast tanitott a kedvenc absztrakt algebra tanarom, es mutatott egy 12 soros, harom vegtelen sorozattal machinalo tetelkimondast, ami ekvivalens volt azzal hogy minden pozitiv egesz szam (a sorrendtol eltekintve) egyertelmuen bonthato fel primszamok szorzatara... egy elmeny volt rajonni hogy ez csak ennyi :) a fizikusoknal is visszafele gondolkodva, megnezni a definiciot (ami persze mar a modositott fogalmakkal volt kimondva) dekodoltuk hogy azt mi hogy hivtuk.
Erre a kepessegre, hogy masnak a terminologiajaba visszaultetve meseled el amit a sajatodban ertesz vagy forditva, mondjuk szukseged lehet kesobb a jogi szakszoveg ertelmezese, vagy szakszerunek tuno erveleshez...

[ Szerkesztve ]

(#6106) kovisoft válasza Micsurin (#6102) üzenetére


kovisoft
őstag

A partíció az egyszerűen egy halmaznak a tetszőleges nemüres diszjunkt részhalmazokra bontása. Tehát a faktorhalmaz egy olyan partíció, amelyet egy ekvivalencia reláció határoz meg.

(#6107) axioma válasza kovisoft (#6106) üzenetére


axioma
Topikgazda

En ertem ha ezt tanitjak, de ha igy nezzuk akkor a particio meg egy olyan faktorhalmaz, amit az az ekvivalencia-relacio hataroz meg a benne levo halmazok uniojan, hogy pont azok az elemek vannak realcioban, amelyek a "particio" egyazon halmazaban vannak.
A ket fogalom ez esetben azonos. Ami me'g mindig nem baj csak akkor fura az hogy ket kulon entitaskent van felsorolva egy tetelben. Raadasul az altalanostol a specialisig sorrend is jobb lenne, marpedig ha a faktorhalmazt a particioval definialjak, akkor az elorebb kene legyen.
Igen, tudom, nem mindig logikus amit tanitanak vagy egy ilyen listaba leirnak, ezert is off.

(#6108) kovisoft válasza axioma (#6107) üzenetére


kovisoft
őstag

És pont van is egy ilyen tétel, hogy a kettő ugyanaz. Ettől még a partíció definíciójához nincs szükség semmilyen relációra, a faktorhalmaz definíciójához meg nincs szükség semmilyen partícióra. Mennyi ilyen struktúra van a matematikában, hogy elindulunk az egyik irányból, meg egy másikból is, aztán a végén kiderül, hogy amit kapunk az mindkét esetben ugyanaz. :)

(#6109) axioma válasza kovisoft (#6108) üzenetére


axioma
Topikgazda

ok, legyen, bar nem teljesen ertem ez esetben a motivaciot mashogy nevezni... az ekviv-relacio meghataroz egy particiot, ahol a~b <=> ugyanannak a reszhalmaznak az elemei, ennyi. Ennek ket nevet adni es tetelnek nevezni, plane nem elmeleti matkus szakon, tulzasnak tartom [de sztem nem is volt ilyen tetelunk nekunk sem, majd eloszedem azt a jegyzetem, bar 20+ eves...]

(#6110) kovisoft válasza axioma (#6109) üzenetére


kovisoft
őstag

Nem motiváció volt arra, hogy ugyanazt a dolgot kétféleképpen nevezzék, hanem két különböző úton elindulva érnek össze a szálak. A partíció egy alapvető halmazelméleti fogalom, kb. mint a részhalmaz, metszet, unió, komplementer, stb. Az ekvivalencia relációhoz meg - mint a neve is mutatja - szükség van egy relációra, ami eleve egy halmaz elemeiből alkotott rendezett párokon van értelmezve. Ebből származik a faktorhalmaz, amiről történetesen kiderült, hogy egyben partíció is.

(#6111) Micsurin


Micsurin
veterán

Köszönöm! :R

Ez már így en bloc használható a számomra, tényleg köszönöm! :) :D

edit.: még egy Euler séta algoritmust kérdezhetek? :DDD Erre sem találok egyértelműt azt tudom, hogy ha nyitott akkor az egyik páratlan csúcsból indulunk elvileg mindegy a kettő közül melyikből de ezen felül? Nem találok kimondott algoritmust mint mondjuk a minimális feszítőfára a moho megoldást.

Tudom, hogy 100 hsz óta spammelem a topikot és elnézést!

[ Szerkesztve ]

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6112) kovisoft válasza Micsurin (#6111) üzenetére


kovisoft
őstag

Ha érted az Euler-séta elvét, és megfelelő kiinduló csúcsot választottál, akkor abból automatikusan kijön, hogy bárhogy is mész végig az éleken, be fogod tudni járni a gráfot. Csak abba kell belegondolni, hogy ha egy csúcson áthaladsz, akkor egyszer egy élen keresztül odaérsz, egy másik élen keresztül pedig elmész onnan, tehát egy csúcson áthaladáshoz két él szükséges. Mivel a séta során szinte az összes csúcson szimplán áthaladsz, ezért ezek mindegyikébe páros számú él kell fusson. Mik lehetnek a kivételek? Abban az esetben, ha ugyanabba a csúcsba érkezel, mint ahonnan kiindultál (azaz zárt a séta, vagyis Euler-körről van szó), akkor nincs kitüntetett kezdő- és végpont, azaz ilyenkor a gráf összes csúcsa páros fokszámú kell legyen. Ha nem zárt a séta, azaz a kezdőpont eltér a végponttól, akkor a kezdőpontból az első lépés csak kifelé vezet, a végpontba az utolsó lépés csak befelé vezet, tehát ennek a két kitüntetett csúcsnak páratlan, az összes többinek (amiken áthaladsz) viszont továbbra is páros fokszáma kell legyen.

A fentiek alapján ha a gráf ilyen tulajdonságokkal bír, és megfelelő kezdőpontot választottál, akkor bárhogyan is haladsz át rajta, be fogod tudni járni a gráfot úgy, hogy minden élen pontosan egyszer haladsz végig. El sem tudod rontani. Csak annyi a lényeg, hogy ha két darab páratlan fokszámú csúcs van, akkor az egyik ilyenből indulj el, és automatikusan a másik ilyenbe fogsz érkezni. Ha meg minden csúcs páros fokszámú, akkor bárhonnan elindulhatsz, a végén ugyanoda fogsz érkezni.

Nem volt még külön szó róla, de nyilván az egész csak akkor működik, ha a gráf összefüggő, azaz minden csúcsából minden másik csúcsa elérhető valamilyen útvonalon.

(#6113) axioma válasza kovisoft (#6110) üzenetére


axioma
Topikgazda

Elvegeztem egy matematikus szakot szoval nem azzal van bajom hogy nem ertem, csak a felepitessel. Oncelu. Ha a user mar tudja mi a particio, akkor eleg neki azt mondani, hogy az ekviv.rel. altal meghatarozott particiot az ekviv.rel. faktorhalmazanak hivjuk (fontos, hogy itt birtokos eset van). Szerintem egy masfel soros lemma szintje a max. amit meger annak a "belatasa" hogy ahoyg meghatarozzuk az tuti particio lesz, bar ezt is csak a kettesert hajtok kedveert irnam le... De ugy megadni, hogy "altalaban" a faktorhalmaz amihez _letezik_ ekviv rel ami "generalja", hat az mar kicsit sem elorevivo.
Ettol me'g siman elhiszem hogy valamiert igy tanitjak, en csak a sajat velemenyemet mondom, es ezennel befejeztem, szerintem mar tulbeszeltuk.

(#6114) axioma válasza kovisoft (#6112) üzenetére


axioma
Topikgazda

Icipici modositast ha megengedsz: automatikusan egy olyan setat kap ha random lepeget amig lehet ami a kezdopontba vagy a masik paratlanba viszi, de nem feltetlen Euler-setat, kimaradhatnak elek ha befut ido elott a vegpontba ugy, hogy tobb kifele e'l nincs. De ez vagy a kimaradt eleken korok megtetelevel es azok setaba szurasaval megoldhato, vagy a "tul hamar vegeznenk" e'lek jelolesevel megkerulheto.

[ Szerkesztve ]

(#6115) Micsurin


Micsurin
veterán

Köszönöm! :R

Tehát nincs rá kimondottan olyan algoritmus ami fix és etalon megoldás. :) Akkor itt tanárnénink meg másra gondolt csak nem jól írta le.

A létezés szükséges / elégséges feltételeit értem csak arra voltam kíváncsi van-e fix megoldási lépés sor. :)

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6116) kovisoft válasza axioma (#6113) üzenetére


kovisoft
őstag

Sem az öncélúsággal, sem a partíció és a faktorhalmaz közé abszolút egyenlőségjel tételével nem tudok egyetérteni. A partíció definíciójához csak a legelemibb halmazelméleti eszközök szükségesek, ha nem létezne semmilyen reláció, akkor is definiálható a partíció. Ha ezután definiáljuk az ekvivalencia relációt és annak faktorhalmazát, akkor valóban elmondható, hogy a faktorhalmaz egy partíció, mert teljesíti annak halmazelméleti definícióját.

Visszafelé ez ebben a formában nem mondható el, csak az, hogy egy partícióhoz konstruálható egy ekvivalencia reláció, amelynek a faktorhalmaza lesz az adott partíció.

Azzal még akár egyet is lehetne érteni, hogy "az ekviv.rel. altal meghatarozott particiot az ekviv.rel. faktorhalmazanak hivjuk", csakhogy a faktorhalmazt az ekvivalencia osztályokkal, az ekvivalencia osztályokat pedig az egymással ekvivalens elemekből definiáljuk, ezekben a definíciókban nem szerepel a partíció. Tehát a faktorhalmazt nem definiálhatjuk, hanem magyarázhatjuk a partíció segítségével.

(#6117) kovisoft válasza axioma (#6114) üzenetére


kovisoft
őstag

Köszönöm a kiegészítést (egyúttal elnézést Micsurintól :B ), valóban, ha van két páratlan fokszámú csúcs, akkor nem szabad "túl hamar túl sokszor" a végpontba lépni, azaz amikor a végpontba már csak 1 db befelé vezető él maradt bejáratlanul, akkor oda már csak akkor szabad bemenni, amikor már minden más élt bejártunk.

(#6118) axioma válasza kovisoft (#6117) üzenetére


axioma
Topikgazda

Nem csak ez az egy eset van, vegyel egy kort es ket nemszomszedos pontjan keresztul fektess egy hosszabb lancot, ha a lancon indulsz es masodik metszespontjanal - messze a vegponttol - rosszul dontesz, akkor nem jarod be a kort.
Es ezt most csak azert irom, hogy Micsurin lassa: az algo az hogy megprobalunk veletlenszeruen menni addig amig van lehetseges kimeno el amit me'g nem hasznaltunk, de ezutan me'g amig van kimaradt el, ujabb veletlenszeru setak kellenek (az elozoekben mar elert valamelyik pontbol, itt jon be az osszefuggoseg), es itt mar tuti ugyanoda er vissza az algo mikor megall, igy ezt a setat be kell inzertalni a meglevo setaba azon a ponton. De ez sok iteracion keresztul fennallhat, viszont tutira veges algo.

[ Szerkesztve ]

(#6119) Micsurin


Micsurin
veterán

Köszönöm a sok segítséget! :R
Szép kövér kerek dagadó kettes, matekból én nagyon tudok neki örülni főleg a szórótárgyakon. :))
"Nem tudom eldönteni mit adjak magának..."
"Én tudom, egy kettessel eszméletlen boldog tudnék lenni. :DDD"
"Jaj az már megvan és most a hármas és a kettes közt gondolkodok."
"Akkor itt én most megállnék köszönöm//*"
*//mielőtt valami olyat mondok ami megingatná ezt a kettest. :DDD

Peace is a lie. There is only Passion. Through Passion I gain Strength. Through Strength I gain Power. Through Power I gain Victory. Through Victory my chains are Broken. The Force shall free me.

(#6120) kovisoft válasza Micsurin (#6119) üzenetére


kovisoft
őstag

Gratulálok! Hirtelen azt hittem, úgy jártál a kettessel, mint ebben a viccben: :D

- Kérem, csak addig vizsgáztasson, amíg a kettes megvan! - kéri a hallgató.
Már egy órája vizsgázik, amikor a tanár megszólal:
- Na, adja ide az indexét, kolléga. Megvan a kettes.
- Phűűű. De nehezen ment!
- Azt meghiszem - így a tanár - fél órája még a jelesnél voltunk.

Copyright © 2000-2021 PROHARDVER Informatikai Kft.