Mi a pont? Alapfogalom, azaz nem definiáljuk, de mindenki érti, hogy mi az. Ez síkban és a gömbön is így van.
Mi a kör? Rajzoljunk egyet a síkban, majd a gömbön (egy ponttól azonos távolságra lévő pontok).
Lehet-e bármekkora sugarú kört felvenni a síkon? És a gömbön?
Definíció:
A gömbön a maximális sugarú köröket (tehát azt a síkmetszetét a gömbnek, ahol a metsző sík a gömb középpontján átmegy) főköröknek nevezzük.
Ezek a főkörök a gömbi egyenesek.
Vagyis a földgömbön az Egyenlítő egyenes (és persze ugyanakkor kör is), de a Ráktérítő vagy a Baktérítő csak kör, de nem egyenes.
Távolság.
A síkon két (nem egybeeső) pont az egyenest egy szakaszra és két félegyenesre bontja, a szakasz hosszát nevezzük a két pont távolságának.
Gömbön két pont két szakaszra bontja az egyenest, nyilván a nem nagyobb (kisebb vagy egyenlő) szakasz hosszát nevezzük a két pont távolságának.
Mekkora lehet két pont távolsága síkon és mekkora gömbön?
Gömbön (egységsugarú gömbön) a maximális távolság "pí" (3.1415926535897932384626433832795...)
Gömbön a "pí állandó" 2 és "pí" között bármilyen értéket fölvehet, azaz nem is állandó.
A gömbön egy egyenes (főkör) két átellenes pontja végtelen sok átmérővel összeköthető. Az egyenlítő két átellenes pontját nem csak az Északi-sarkon át köthetjük össze.
Vegyünk fel egy háromszöget a síkon és a gömbön! A gömbön, adott három nem egyebeeső pontot választva, több háromszög is létezik.
A Budapest, Párizs, London háromszöget úgy is fölvehetjük, hogy elindulunk Budapestről Párizsba, de Párizsból nem északra indulunk, hanem délre a Déli-sarkig, majd onnan északra a Föld túloldalán az Északi-sarkig végül délre Londonig és utána vissza Budapestre. London és (jó közelítéssel) Párizs is a greenwichi délkörön fekszik.
Ideírom a két, különböző párhuzamossági axiómát:
1. euklideszi geometria: Egy adott egyenes és egy rá nem illeszkedő P pont esetén egy és csak egy olyan egyenes létezik, amely illeszkedik P-re és párhuzamos az egyenessel.
2. gömbi geometria: Egy adott egyenes és egy rá nem illeszkedő P pont esetén nem létezik olyan egyenes, amely illeszkedik P-re és párhuzamos az egyenessel.
Ebből a dióhéjnyi összegzésből jól látszanak az euklideszi és a gömbi geometria különbségei, de vannak hasonlóságok is.
A derékszöget definiálhatjuk a gömbön is, sőt a gömbön is érvényes Pitagorasz tétele.
Ha a gömb R sugara nagy (a Föld átmérője 12756 km), akkor a gömb parányi felületén az euklideszi síkgeometria is jó közelítést ad.
A geometria szó a földmérés görög elnevezése.
