Hirdetés

A "Kecske" című blogbejegyzésem számos hozzászólásában nem hagytuk a kecskét békésen legelészni és elkalandoztunk a logika határáig.
Utánaolvastam és a neten is kutakodtam egy kicsit.
Linkelek egy cikket és kiemelek belőle néhány állítást.
https://youproof.hu/godel-nemteljessegi-tetel-elsorendu-logika-bizonyitaselmelet-kovetkezmeny-bizonyithatosag-szemantikai-igazsagfogalom/
Hilbert hitt abban, hogy a matematikában néhány egyszerű alapfeltevésből – az úgynevezett axiómákból – kiindulva mindent be lehet bizonyítani. Ez azzal kecsegtetett, hogy bebizonyosodik a különböző matematikai elméletek alapját adó axiómarendszerektől elvárt két legfontosabb tulajdonság: a teljesség és az ellentmondásmentesség. Egy axiómarendszer teljessége azt jelenti, hogy a logikai következtetés szabályait alkalmazva az axiómákból kiindulva minden matematikai állításról el lehet dönteni, hogy igaz-e vagy hamis. Az ellentmondásmentesség pedig azt követeli meg az adott axiómarendszertől, hogyha valamilyen módon belátjuk egy állítás igazát, akkor semmilyen úton-módon ne lehessen ugyanerről az állításról bebizonyítani, hogy hamis. Hilbert meg volt róla győződve, hogy csupán néhány axiómából kiindulva válaszolni lehet bármiféle elképzelhető matematikai kérdésre, és eközben nem kell ellentmondástól tartani.
...
Kurt Gödel ... dolgozta ki azokat az elképzeléseket, amelyek megrengették a matematika alapjait, és szertefoszlatták Hilbert álmát. Eredményeit a következő két pongyolán megfogalmazott állítás foglalja össze.
.
Gödel első nemteljességi tétele: Ha egy „kellőképpen erős” matematikai elmélet axiómarendszere ellentmondásmentes, akkor megfogalmazhatók olyan állítások, amelyek nem bizonyíthatók és nem is cáfolhatók ebből az axiómarendszerből kiindulva.
.
Gödel második nemteljességi tétele: Egy ilyen axiómarendszer ellentmondásmentessége szintén nem bizonyítható és nem is cáfolható magából az axiómarendszerből kiindulva.