Mi a pont? Alapfogalom, azaz nem definiáljuk, de mindenki érti, hogy mi az. Ez síkban és a gömbön is így van.
Mi a kör? Rajzoljunk egyet a síkban, majd a gömbön (egy ponttól azonos távolságra lévő pontok).
Lehet-e bármekkora sugarú kört felvenni a síkon? És a gömbön?
Definíció:
A gömbön a maximális sugarú köröket (tehát azt a síkmetszetét a gömbnek, ahol a metsző sík a gömb középpontján átmegy) főköröknek nevezzük.
Ezek a főkörök a gömbi egyenesek.
Vagyis a földgömbön az Egyenlítő egyenes (és persze ugyanakkor kör is), de a Ráktérítő vagy a Baktérítő csak kör, de nem egyenes.
Távolság.
A síkon két (nem egybeeső) pont az egyenest egy szakaszra és két félegyenesre bontja, a szakasz hosszát nevezzük a két pont távolságának.
Gömbön két pont két szakaszra bontja az egyenest, nyilván a nem nagyobb (kisebb vagy egyenlő) szakasz hosszát nevezzük a két pont távolságának.
Mekkora lehet két pont távolsága síkon és mekkora gömbön?
Gömbön (egységsugarú gömbön) a maximális távolság "pí" (3.1415926535897932384626433832795...)
Gömbön a "pí állandó" 2 és "pí" között bármilyen értéket fölvehet, azaz nem is állandó.
A gömbön egy egyenes (főkör) két átellenes pontja végtelen sok átmérővel összeköthető. Az egyenlítő két átellenes pontját nem csak az Északi-sarkon át köthetjük össze.
Vegyünk fel egy háromszöget a síkon és a gömbön! A gömbön, adott három nem egyebeeső pontot választva, több háromszög is létezik.
A Budapest, Párizs, London háromszöget úgy is fölvehetjük, hogy elindulunk Budapestről Párizsba, de Párizsból nem északra indulunk, hanem délre a Déli-sarkig, majd onnan északra a Föld túloldalán az Északi-sarkig végül délre Londonig és utána vissza Budapestre. London és (jó közelítéssel) Párizs is a greenwichi délkörön fekszik.
Ideírom a két, különböző párhuzamossági axiómát:
1. euklideszi geometria: Egy adott egyenes és egy rá nem illeszkedő P pont esetén egy és csak egy olyan egyenes létezik, amely illeszkedik P-re és párhuzamos az egyenessel.
2. gömbi geometria: Egy adott egyenes és egy rá nem illeszkedő P pont esetén nem létezik olyan egyenes, amely illeszkedik P-re és párhuzamos az egyenessel.
Ebből a dióhéjnyi összegzésből jól látszanak az euklideszi és a gömbi geometria különbségei, de vannak hasonlóságok is.
A derékszöget definiálhatjuk a gömbön is, sőt a gömbön is érvényes Pitagorasz tétele.
Ha a gömb R sugara nagy (a Föld átmérője 12756 km), akkor a gömb parányi felületén az euklideszi síkgeometria is jó közelítést ad.
A geometria szó a földmérés görög elnevezése.

A "Kecske" című blogbejegyzésem számos hozzászólásában nem hagytuk a kecskét békésen legelészni és elkalandoztunk a logika határáig.
Utánaolvastam és a neten is kutakodtam egy kicsit.
Linkelek egy cikket és kiemelek belőle néhány állítást.
https://youproof.hu/godel-nemteljessegi-tetel-elsorendu-logika-bizonyitaselmelet-kovetkezmeny-bizonyithatosag-szemantikai-igazsagfogalom/
Hilbert hitt abban, hogy a matematikában néhány egyszerű alapfeltevésből – az úgynevezett axiómákból – kiindulva mindent be lehet bizonyítani. Ez azzal kecsegtetett, hogy bebizonyosodik a különböző matematikai elméletek alapját adó axiómarendszerektől elvárt két legfontosabb tulajdonság: a teljesség és az ellentmondásmentesség. Egy axiómarendszer teljessége azt jelenti, hogy a logikai következtetés szabályait alkalmazva az axiómákból kiindulva minden matematikai állításról el lehet dönteni, hogy igaz-e vagy hamis. Az ellentmondásmentesség pedig azt követeli meg az adott axiómarendszertől, hogyha valamilyen módon belátjuk egy állítás igazát, akkor semmilyen úton-módon ne lehessen ugyanerről az állításról bebizonyítani, hogy hamis. Hilbert meg volt róla győződve, hogy csupán néhány axiómából kiindulva válaszolni lehet bármiféle elképzelhető matematikai kérdésre, és eközben nem kell ellentmondástól tartani.
...
Kurt Gödel ... dolgozta ki azokat az elképzeléseket, amelyek megrengették a matematika alapjait, és szertefoszlatták Hilbert álmát. Eredményeit a következő két pongyolán megfogalmazott állítás foglalja össze.
.
Gödel első nemteljességi tétele: Ha egy „kellőképpen erős” matematikai elmélet axiómarendszere ellentmondásmentes, akkor megfogalmazhatók olyan állítások, amelyek nem bizonyíthatók és nem is cáfolhatók ebből az axiómarendszerből kiindulva.
.
Gödel második nemteljességi tétele: Egy ilyen axiómarendszer ellentmondásmentessége szintén nem bizonyítható és nem is cáfolható magából az axiómarendszerből kiindulva.

Rainbow Six Siege gépigénye: Minimum (1080p at 60 frames per second)
Windows 10, Windows 11 (64-bit versions)
AMD Ryzen 3 1200 @ 3.1 GHz, Intel Core i5-4590 @ 3.3 GHz, or better
RAM 8 GB
AMD RX 460 (2 GB), NVIDIA GeForce GTX 750 Ti (2 GB), or better
Hard drive 85.5 GB available storage (SSD)
DirectX version DirectX 12

A Titanic elindul Southamptonból és Jack meg Fabrizio előre megy a hajó orrába.

Fabrizio ezt mondja: "I can see the Statue of Liberty already".
Csak akkor láthatta a New York-i Szabadság-szobrot, ha a Föld lapos és nem gömbölyű.
De ezt eddig is tudtam, mert a cipőm talpa is lapos.

Gépigény
MINIMUM:
OS: Windows 10 (64-bit versions only)
Processor: Intel Core i3-4150 | AMD FX-4300 or equivalent
Memory: 4 GB RAM
Graphics: NVIDIA GeForce GTX950 / GTX1050 with 2 GB VRAM | AMD Radeon R9 270 / R9 370 / RX460 with 2 GB VRAM
DirectX: Version 9.0c
Storage: 90 GB available space
Nekem megvan, de fizetős játék.
Csak a benchmark kedvéért nem érdemes megvenni, de időnként ki lehet fogni egy-egy ingyenesen játszható hetet.

Televíziós vetélkedőn veszel részt, ahol a fődíj egy sportautó.
A játék vezetője három ajtót mutat neked és azt mondja, hogy az egyik mögött van az autó, a másik kettő mögött meg egy-egy kecske.
Rá kell böknöd az egyik ajtóra, de az ajtókat egyelőre nem nyitják ki.
Ezután a műsorvezető kinyitja az egyik ajtót azok közül, ami mögött kecske van, hiszen tőled eltérően ő tudja, melyik ajtó mögött mi van.
Mielőtt kinyitná azt az ajtót, amelyikre mutattál, fölajánlja, hogy meggondolhatod magad és választhatod a másik ajtót az eredetileg választott helyett.
Érdemes-e váltanod?

A Steamen telepíthető néhány ingyenes benchmark.
Az egyik a Just Cause 2 játék demója. (2010)

https://store.steampowered.com/app/8190/Just_Cause_2/

Elfogadtam az alapértelmezett beállításokat, de a felbontásnál a natív 1920 * 1080 -at adtam meg.
A játék gépigénye:
MINIMUM:
Processor: Dual-core CPU with SSE3 (Athlon 64 X2 4200 / Pentium D 3GHz)
Memory: 2GB System Memory
Hard Drive: 10GB of free drive space
Graphics: DX10 compatible graphics card with 256 MB of memory
(Nvidia GeForce 8800 series/ ATI Radeon HD 2600 Pro)
Sound: 100% DirectX 10 compatible sound card
DirectX®: Microsoft DirectX 10

A benchmark átlagosan 9.95 képkockát adott másodpercenként.

Ezen a vason futtattam:
Processor Intel(R) Core(TM) i3-4170 CPU @ 3.70GHz 3.70 GHz
Installed RAM 8.00 GB
System type 64-bit operating system, x64-based processor
Windows 10 Home N

Az egyik PC-mre frissen telepítettem Windows 10-et.
Letöltöttem az update-eket és anélkül, hogy bármit átállítottam volna, futtattam a PassMark benchmarkját.
Ezt az eredményt kaptam.

https://www.passmark.com/baselines/V11/display.php?id=221941762624

Tervezem, hogy még ennél is retróbb PC-kkel is összehasonlítom a pontszámokat.
CPU Type Intel Core i3-4170 @ 3.70GHz
CPU Measured Speed 3.69 GHz
Motherboard Gigabyte Technology Co., Ltd. H81M-S1
Memory Total Memory: 8GB, Number of RAM Modules: 2
Video Card Tested GeForce 605
Primary Display Monitor 1680x1050x32 59Hz 96 DPI (Primary monitor)
Hard Drive Tested SAMSUNG HD161HJ (160 GB)
Benchmark Scores
Passmark Rating* 722
+ CPU Mark CPU Test Info 3,729
+ 2D Graphics Mark 204
+ 3D Graphics Mark 3D Graphics Test Info 0
+ Memory Mark Memory Test Info 2,201
+ Disk Mark Disk Test Info 468

Egy régi, gyenge gép meghálálja, ha kikapcsolod a fölösleges szolgáltatásokat.
Ezeket a szolgáltatásokat (services) kapcsoltam ki:
Windows Mobile Hotspot Service
Print Spooler
Fax Service
Downloaded Maps Manager
Certificate Propagation Service
Windows Biometric Service
AllJoyn Router Service
BitLocker Drive Encryption Service
Connected User Experiences and Telemetry
Parental Controls
Remote Registry
Windows Image Acquisition (WIA)
Windows Error Reporting Service
Smart Card
Smart Card Device Enumeration Service
Smart Card Removal Policy
Netlogon
Már elajándékoztam az alaplapot és a procit, de ezt a konfigurációt vizsgáltam a Passmark benchmark-kal
CPU Type Intel Pentium E6700
CPU Measured Speed 3.20 GHz
Motherboard Gigabyte G41MT-S2PT
Memory 4GB
Video Card Tested GeForce 605
Hard Drive Tested Apacer AS350 128GB SSD
Windows 10 Home N build 19045 (64-bit)
Benchmark előtte / utána
Passmark Rating 503 / 688
- CPU Mark CPU Test 501 / 1,017 CPU usage: mintha kicsit emelnéd az órajelet
Integer Math 2,005 / 4,570 MOps/Sec
Floating Point Math 1,144 / 2,534 MOps/Sec
Find Prime Numbers 2 Million / 4 Million Primes/Sec
Random String Sorting 1,229 / 2,739 Thousand Strings/Sec
Data Encryption 135 / 264 MBytes/Sec
Data Compression 10 / 20 MBytes/Sec
Physics 39 / 77 Frames/Sec
Extended Instructions 201 / 400 Million Matrices/Sec
Single Thread 842 / 993 MOps/Sec
- 2D Graphics Mark 133 / 138
- 3D Graphics Mark 3D Graphics Test 317 / 315
- Memory Mark Memory Test 642 / 661
Database Operations 475 / 507 KOps/Sec
Memory Read Cached 8,160 / 9,253 MBytes/Sec
Memory Read Uncached 3,825 / 3,889 MBytes/Sec
Memory Write 1,684 / 1,509 MBytes/Sec
Available RAM 1,689 / 2,141 Megabytes RAM usage mintha betennél még egy kis memóriamodult
Memory Threaded 4,052 / 4,056 MBytes/Sec
- Disk Mark Disk Test 1,516 / 1,527

A DVDFab HD Decrypter-t használom erre a célra.
A teljes program fizetős, de a ripper része ingyenes.
Előnye, hogy megtartja az eredeti formátumot. A legtöbb másolásvédelmet kikerüli.
Hátránya, hogy vagy csak a teljes lemezt (Full Disc) vagy csak a főfilmet (Main Movie) másolja.