2019. március 19., kedd

Gyorskeresés

GEB - A matematikai jelentés és forma

Írta: |

[ ÚJ BEJEGYZÉS ]

Ez a fejezet arról szól, hogy hogyan kötünk jelentést egy adott szimbólumhoz, szimbólumok sorozatához, vagy akármi máshoz ha már itt tartunk. A felvezető dialógus ez esetben nem Hofstadter, hanem Lewis Carroll tollából származik (ő az Alíz csodaországban írója). Carroll maga is aktívan érdeklődött a matematikai logika iránt, ebben a novellában pedig - pont miután vége lett a futóversenyüknek, amit természetesen Akhilleusz nyert meg - Akhilleusz és a Teknős a logikai következtetés lehetetlenségéről beszélgetnek. A Teknős, hasonlóan Zénón trükkjéhez, egy végtelenségig folytatható logikai láncolatot épít fel egy látszólag egyszerű következtetésre alapozva (mint mikor Besenyő Pista Bácsinak annyiszor van igaza, ahányszor akarja :) ). A párbeszéd a könyvben a kétszólamú invenció címet kapta.

Maga a fejezet egy újabb formális rendszer bevezetésével kezd, ez pedig a pg-rendszer. Ez szintén egy nagyon egyszerű rendszer, három szimbólummal (p, g, -). Itt az író mélyebben kifejti a döntési eljárás fogalmát, ami egy olyan eljárást takar, amivel véges időn belül eldönthető bármely karakterláncról, hogy tétele-e a formális rendszernek.
Ezután egy érdekes felfedezést tesz a pg rendszerről: a meghatározott axiómákkal és levezetési szabályokkal összefüggés fedezhető fel a pg rendszer, és a számelméletből ismert összeadás között. Ezzel rávilágít arra, hogy honnan ered maga a jelentés: az izomorfizmusból. A pg rendszer sztrigjei azelőtt csak értelmetlen szimbólumok voltak, de amint az agyunk képes volt hozzákötni egy általa már ismert koncepcióhoz (vagyis izomorfizmust fedezett fel), a szimbólumok azonnal értelmet nyertek, jelentést kaptak.
Tehát a jelentés az izomorfizmusból ered: az intelligens elme észreveszi két egymással izomorf rendszer kapcsolódási pontjait, majd azokat közös alapra hozza, így létrehozva a kettő fölött egy új absztrakciós szintet, ami által összekötheti a kettőt, és ezután ez az új absztrakciós szint lesz a jelentése a két rendszernek.
További fontos megjegyzései a fejezetnek az aktív és passzív jelentés közötti megkülönböztetés. Az aktív jelentésre a beszélt nyelveket hozza fel példának, ahol ha megtanuljuk egy szó jelentését, annak egy mondatba ágyazva sokkal árnyaltabb jelentése is lehet, így nyernek a szavak aktív jelentést. Tehát aktív jelentés esetén a tényleges jelentést nem csak maga a szó, hanem annak környezete is meghatározza. Kicsit hasonlít ez az objektumorientált nyelvekben használt dinamikus és statikus típus fogalmához, ahol egy objektum dinamikus típusa mindig csak a program futása során dől el.
A kettős jelentés fogalmát is érintjük, amikor az író rámutat, hogy ha a pg rendszer eredeti értelmezése helyett más értelmezést alkalmazunk (pl a p és g karaktereknek nem a plusz és egyenlő, hanem az egyenlő és minusz szimbólumok jelentését adjuk), akkor is felfedezhetünk konzisztens izomorfizmust, így ugyanazt a karakterláncot többféleképp is értelmezhetjük anélkül, hogy valótlanságra bukkannánk. Ez hasonló a bevezetőben említett kánonokhoz, ahol a témában megszólaló hangok többféle értelmezést nyernek attól függően, hogy mely más hangokkal szólalnak meg azonos időben.
A szerző ezután azt fejtegeti, hogy vajon használható-e egy formális rendszer a valóság igazságainak leírására. Azt állítja, hogy a valóság elméletben leképezhető lehet egy formális rendszerre, ahol a szimbólumok az elemi részecskék, a tipográfiai szabályok a természet törvényei, a rendszer egyetlen axiómája pedig az ősrobbanás pillanatában létező állapot. Egy ilyen leképezésnek persze inkább csak filozófiai hozadéka van, ez azonban nem jelenti azt, hogy nem használhatunk egyszerűbb formális rendszereket a valóság bizonyos részeinek leképzésére, és ezáltal való megértésére és leegyszerűsítésére.
Például az aritmetika szabályait célszerű formális rendszerbe foglalni, és szimbólumokkal leírni, mert bár az alapjai nagyon egyszerűek (elvégre ki ne tudná megszámolni például azt, hogy hány darab ujj van a bal kezén), a mennyiségek növekedésével jobb, ha rábízzuk magunkat a szimbólumokra. Vannak azonban a természetes számoknak olyan tulajdonságai is, amiket egyszerű számlálással nem lehet ellenőrizni.
A szerző példaként a következő tulajdonságot hozza fel: “a prímek száma végtelen”. Ha megpróbálnánk megszámolni őket, hamar elunnánk magunkat (szembetalálnánk magunkat a Turing-féle leállási problémával), de ez nem jelenti azt, hogy ne lehetne a tulajdonságot bizonyítani. Eukleidész már jó régen meg is tette ezt helyettünk, méghozzá a teljes indukció segítségével. A teljes indukció lényege az általánosítás: ha veszünk egy akármilyen N prímszámot, és bebizonyítjuk, hogy mindig előállítható belőle egy N-nél nagyobb prímszám, akkor ezzel bizonyítottuk, hogy a prímek száma végtelen. Így sikerült Eukleidésznek a felfoghatatlan végtelent “megszelidíteni”. Ehhez persze az is kellett, hogy létezzenek a nyelvben olyan fogalmak leírására használható szavak, mint a “minden”, “bármely”, “akármelyik”, stb.

Copyright © 2000-2019 PROHARDVER Informatikai Kft.